Théorie des Eléments Finis

Ce cours est destiné aux étudiants de niveau master. Il détaille les principes de la méthode des éléments finis. C’est un cours de mécanique, destiné à l’utilisateur avancé de cette méthode, qui cherche à comprendre les principes et limites des résultats fournis par les codes du commerce, et veut pouvoir intervenir intelligemment dans le logiciel.

Ce cours vous est proposé par Loic Daridon, qui, bien que désormais Professeur au Laboratoire de Mécanique et Génie Civil de l’Université de Montpellier II, accepte encore vos questions et remarques par mail.

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I. Rappel de M.M.C.

1.1. Déformation
1.2. Contraintes
- 1.2.1. Invariant du tenseur des contraintes
1.3. Les relations de compatibilité.
1.4. Loi de comportement - Loi de Hook
- 1.4.1. Matériau isotrope
  - 1.4.1.1. Cas compression uniforme
  - 1.4.1.2. Cas traction simple
- 1.4.2. Matériau orthotrope

II. Méthode énergétique en élasticité

2.1. Rappelle du théorème des puissances virtuelles
2.2. Les différentes formulations
- 2.2.1. Formulation P.P.V.
- 2.2.2. Energie Potentielle
- 2.2.3. Energie Potentielle complémentaire
- 2.2.4. Formulation mixte

III. Principe de discrétisation

3.1. GALLERKINE
3.2. RITZ
- 3.2.1. Formulation en déplacement :
- 3.2.2. Formulation en Contrainte :
- 3.2.3. Formulation Mixte :

IV. Intégration numérique

4.1. Méthode de Newton-Cotes
4.2. Méthode de Gauss

V. E.F. technique de résolution

5.1. Principes généraux
5.2. Matrices élémentaires
- 5.2.1. Approximation des déplacements
- 5.2.2. Approximation nodale
- 5.2.3. Approximation des déformations
- 5.2.4. Approximation de l’énergie potentielle sur un élément
- 5.2.5. Propriétés de la matrice de rigidité élémentaire
5.3. Matrices globales
- 5.3.1. Assemblage matrice de rigidité
- 5.3.2. Assemblage du vecteur des forces appliquées
- 5.3.3. Variation de l’énergie potentielle
- 5.3.4. Prise en compte des conditions aux limites.
  - 5.3.4.1. Méthode brutale
  - 5.3.4.2. Méthode de pénalisation
  - 5.3.4.3. Méthode Lagrangienne
5.4. Approximation conforme

VI. Quelques éléments

6.1. Elément 1-D
- 6.1.1. Barre à champ linéaire (2 noeuds)
- 6.1.2. Barre à champ quadratique (3noeuds)
- 6.1.3. Barre à 2 noeuds et 4 ddl
- 6.1.4. Etude des valeurs propres.
6.2. Elément 2-D
- 6.2.1. Isoparamétrique linéaire.
  - 6.2.1.1. Le triangle.
  - 6.2.1.2. Le quadrangle
- 6.2.2. Isoparamétrique non linéaire
- 6.2.3. Non isoparamétrique

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