UFR Physique et Ingénierie - Campus Meinau - Calculs des composites
Composites = matériaux composites = structure composite
L’élaboration de la structure est non séparée de celle du matériau. Le comportement résulte de celui des composants par l’intermédiaire de différents types d’interaction, d’où l’importance de l’interface entre les composants. Le comportement des composants est différent d’où l’intérêt de les faire travailler ensemble.
La question de base qui se pose est de savoir décrire le comportement du composite connaissant celui des constituants.
La spécificité du calcul des matériaux composites vient donc de l’hétérogénéité par conception, et des discontinuités par des microvides. Il faut donc recourir à des techniques d’homogénéisation pour obtenir la relation de comportement tant au niveau du monocouche que du stratifié ou du sandwich.
L’homogénéisation consiste en la représentation d’un milieu équivalent + la construction d’un modèle de calcul permettant d’appliquer la MMC au domaine correspondant à ce milieu équivalent.
Le milieu équivalent est caractérisé en décomposant le matériau en parties irréductibles définissant le VER (Volume Elémentaire Représentatif réduit à la géométrie des éléments constitutifs de l’hétérogénéité, géométrie caractérisée par des conditions de symétrie et de périodicité de ces éléments) de l’état mécanique de ce milieu et susceptible de représenter le comportement réel du matériau.
Avant tout calcul de structures composées de matériaux hétérogènes, il y a un calcul d’homogénéisation permettant de définir un comportement local approché de ces matériaux.
Différents niveaux d’échelles d’étude :
Principalement pour les composites stratifiés ou sandwichs : 2 niveaux d’observation
forme quadratique définie positive des composantes du tenseur des déformations :
σ = Kε avec K : opérateur de Hooke.
Notation tensorielle => Notation matricielle
Le 2 vient du calcul de la trace du produit de la contrainte et de la déformation.
Tr[σε] = σ.ε : produit de matrice. On pose γij = 2 εij : déviation angulaire
Relation de comportement : εij = Sijkl εkl
La matrice 6*6 correspond à la matrice Sijkl
Symétrie des contraintes => σkl = σlk => Sijkl = Sijlk
symétrie des déformations => εij = εji => Sijkl = Sjikl
Seule la connaissance des connaissances des coefficients de la sous-matrice 6*6 est nécessaire.
Application du théorème des travaux virtuels pour un σ particulier => Sijkl = Sklij
=> Sijkl est symétrique => 21 coefficients à déterminer.
la relation de comportement s’écrit :
=> Remarque : pour que la matrice Sijkl soit symétrique, on travaillera avec les distorsions angulaires.
Les coefficients du tenseur de souplesse s’expriment à l’aide de constantes mécaniques.
D’après CHENTSOV, on a :
| Ei : modules de tensions | ηij,k : coefficients d’influence de 1ère espèce. |
| Gij : modules de cisaillement | ηi,kl : coefficients d’influence de 2nde espèce. |
| νij : coefficients de contraction | μij,kl : coefficients de CHENTSOV. |
Dans le paragraphe qui suit, nous allons introduire des symétries matérielles permettant de simplifier la matrice de souplesse Sijkl
Définition : matériau élastique homogène présentant en tout point 2 symétries du comportement mécanique chacune par rapport à 1 plan, les 2 plans étant orthogonaux.
Remarque : Les composantes Smnpq d’un tenseur exprimées dans un repère (1,2,3) s’écrivent Sijkl dans un repère (I,II,III) :
Avec cosmi : cos de l’angle formé par les deux vecteurs unitaires m et i.
Après simplification de Sijkl (élimination des termes nuls), il ne reste que 9 coefficients distincts qui sont :
Avec
Symétrie de la loi de comportement :
Définition : matériau possédant une direction privilégiée, c’est-à-dire qu’il existe un axe de symétrie.
Si on suppose que la direction 3 est axe de symétrie, la relation de comportement s’écrit alors :
Il ne reste donc que 6 coefficients distincts.
Hypothèse : structures composites stratifiés => étude du comportement de la couche UD (unidirectionnelle) => définition de la méso-échelle => dimensionner et modéliser des structures composites
Hypothèse : matériau orthotrope => détermination des constantes élastiques d’un pli UD exprimées dans son repère d’orthotropie.
Les hypothèses simplificatrices suivantes permettent d’éliminer certains coefficients de la matrice de souplesse :
Dans le repère local du pli, la relation de comportement s’écrit :
Le repère global du stratifié composite est (x,y,z). Avant de faire un calcul sur une structure plaque composée de plusieurs plis d’orientations diverses, il faut ramener tous les plis dans le repère globale de la structure. Pour cela, il faut effectuer un changement de repère de toutes les matrices de la relation de comportement du pli, c’est à dire passer du repère (l,t) au repère (x,y). La plaque étant de faible épaisseur, la direction 3 est abandonnée.
Rappel : la contrainte σ s’exerçant sur une facette de normale n s’écrit :
Coordonnées d’un même vecteur dans 2 repères distincts (x,y) et (l,t) / (x,l)= θ
Avec 
Dans le repère (l,t), la contrainte s’exerçant sur la facette de normale x s’écrit :
Dans le repère (x,y) :
De la même façon, on obtient :
La matrice des contrainte s’écrit donc dans (x,y) :
On pose
De la même façon, pour les déformations :
Relation de comportement :
Il y a apparition de couplage dans la matrice [K]-1.
(x,y) : repère de la plaque = repère global.
(l,t) : repère du pli = repère local.
On a donc écrit les coefficients de la matrice de souplesse K-1 du pli élémentaire dans le repère global de la structure.
Inclure les graphiques
On commence par inverser la relation de comportement ε=f(σ) dans le repère (l,t).
apparition des coefficients élastiques dits de " raideur ".
Nouvelle notation :
Même procédure qu’avant :
Qui se réécrit sous la forme :
Avec
Nadia Bahlouli, ULP - IPST - IMFS