Mécanique des composites

Calculs d’homogénéisation des composites

Homogénéisation pour le calcul des modules

La première étape d’un calcul composite consiste à déterminer les caractéristiques mécaniques du matériau en fonction de celles de ses composants. Dans la plupart des cas, ces calculs se réduisent uniquement au calcul du module d’Young. Il existe divers modèles d’homogénéisations pour l’obtenir. Les plus classiques seront présentées ici.

Homogénéisation simplifiée : Les modèles à " Bornes "

Soit un matériau composite UD de repère d’orthotropie (l,t), constitué de fibres noyées dans une matrice polymère. Soit une cellule élémentaire de fraction volumique V = 1 constituée de fibres et de matrice avec :

Vm : fraction volumique de matrice
Vf : fraction volumique de fibre
V = Vm + Vf =1

A l’échelle locale, on a les hypothèses suivantes :

Fibres : comportement élastique linéaire fragile isotrope de coefficients Ef et νf.
Matrice : comportement élastique non-linéaire, isotrope de coefficients Em et νm.

But ? Déterminer les relations existant entre El , Et , Ef , Em , Vm et Vf .

Hypothèses :

On travaille en élasticité linéaire.
On suppose que la liaison fibres/matrices est parfaite.
Localement, on a : σf = Ef εf et σm = Em εm

Modules longitudinale et transverse d’un UD par la loi des mélanges

On associe deux matériaux de caractéristiques distinctes dans le but d’estimer les caractéristiques élastiques du matériau équivalent, c’est à dire de l’UD. Pour cela, on effectue deux essais de compression.

1er essai : Il s’effectue dans la direction parallèle aux fibres (compression longitudinale)

E₁ : module homogénéisé d’Young dans la direction longi à déterminer.

σ₁ = E₁ ε₁

Simplification du problème : on considère le problème équivalent suivant :

Hypothèse : la déformation est constante dans une section droite, c’est à dire que :

[!ε1=εf=εm !]

On a : σ1 = F1/S1 = Elεl = Elεf = Elεm <=> σ1 = Elσf/Ef = Elσm/Em

L’équilibre de l’éprouvette s’écrit : F1=Ff+Fm avec Ff : force appliquée à la fibre, et Fm : force appliquée à la matrice.

On aura :

Ff = EfεfSf = EfεlSf
Fm = EmεmSm = EmεlSm

Donc, Ff+Fm=εl(EfSf+EmSm)=F1

Or, la loi de comportement de l’UD s’écrit : σ1=F1/(Sf+Sm)=Elεl=> F1=Elεl*(Sf+Sm)

=> El=EfSf/(Sf+Sm) + EmSm/(Sf+Sm) => El=EfVf+EmVm : loi des mélanges

Relation très bien vérifiée dans la direction des fibres.

2ème essai : Il s’effectue dans la direction perpendiculaire aux fibres (compression transversale)

Et= module homogénéisé dans la direction transverse, à déterminer. σ2=Etε2

Simplification du problème : On considère le problème suivant :

Hypothèse : la contrainte est constante dans une section droite.

Donc : σ2=σf=σm<=> Vε2=Vfεf+Vmεm<=> σ2/Et=(Vfσf/Ef)+(Vmσm/Em)

<=> 1 / Et = (Vf/Ef)+(Vm/Em) : loi des mélanges en souplesse

Relation pas très bien vérifiée transversalement mais qui donne une indication sur la borne inférieure.

Module de cisaillement et coefficient de Poisson d’un UD par la loi des mélanges

De façon analogue, on détermine ces deux coefficients et on trouve que :

[!νlt=νfVf+νmVm !]

[!1/Glt = (Vf/Gf)+(Vm/Gm) !]

Rappelons que les modèles à bornes donnent un encadrement du comportement mécanique du matériau composite par des comportements mécaniques limites (bornes). Les modèles que nous allons voir maintenant sont applicables à des mélanges de polymères (matériaux composés) et à des composites chargés par des particules diverses. Nous remplacerons donc les termes fibres et matrices par des phases. Les bornes correspondent aux associations série des deux phases (REUSS, équivalent au modèle du module transverse équivalent de la loi des mélanges) et parallèle (VOIGT, équivalent au modèle du module longitudinal équivalent de la loi des mélanges). Aucune hypothèse n’est faite sur la morphologie du matériau. Il est simplement admis que pour le modèle de REUSS, la contrainte est homogène dans les deux phases (continuité de la contrainte) et, pour le modèle de VOIGT, la déformation est constante (continuité de la déformation) dans tout le composite. L’intérêt est limité dès que l’écart des caractéristiques des deux phases est important.

2 - HASHIN et SHTRIKMAN (1963)

Expression des bornes plus resserrée que Voigt et Reuss. Il rajoute une hypothèse supplémentaire sur la géométrie : il existe une phase continue et une discontinue. Ce modèle utilise le principe variationnel : les différents constituants sont noyés dans un matériau de comparaison. Si le matériau de comparaison est "plus souple" Lmin ou "plus raide" Lmax que toutes les phases du matériau composite, on obtiendra une borne inférieure LHS- et supérieure LHS+ pour les modules du matériau composite (biblio).

[!avec !]

Les limites supérieure et inférieure sont équivalentes aux relations obtenues par KERNER, basées aussi sur le principe variationel de la méthode auto-cohérente mais Kerner n’a pas émit d’hypothèses sur la morphologie du mélange. Ses seules hypothèses sont :

propriétés du mélange : isotrope.
comportement des constituants dans le composite est le même que dans le produit en masse.
adhésion parfaite entre les constituants.

Les approches phénoménologiques :

Dans Voigt et Reuss, les phases sont en état de contrainte ou déformation constante. Mais dans la réalité, la répartition des contraintes et déformations entre les particules n’est pas aussi simple. La prise en compte de ceci va se faire par combinaison des modèles de bases de Voigt et Reuss. Différents modèles ont donc été développés, mais la description la plus utilisée est celle de TAKAYANAGI.

Hypothèse : il existe un paramètre de forme ajustable.

Ce modèle donne une bonne description phénoménologique du système mais pas sur sa morphologie (arrangement entre phase).

Les approches basées sur les équations d’HALPIN-TSAI.

Elles permettent de prédire le module longitudinal d’un composite renforcé par des fibres courtes alignées. Les auteurs ont généralisé l’équation de KERNER (1956) issue d’un schéma autocohérent et écrite pour le cas de renforts sphériques au cas des renforts allongés. Les modules longitudinale El et transverse Et s’écrivent alors :

ζ : mesure du facteur de forme de la fibre = 2L/d où L : longueur et d diamètre de la fibre.

A partir des équations d’Halpin-Tsai, on peut estimer le module d’un composite renforcé par des fibres courtes orientées aléatoirement dans un plan ou dans un volume.

L’approche de TSAI-PAGANO

Elle est basée sur la théorie de l’élasticité orthotrope. Elle donne un module E d’un composite à fibres courtes, isotrope dans le plan.

[!E=3/8 El+5/8 Et !]

L’approche d’HALPIN-KARDOS

Elle est similaire à la précédente mais le composite isotrope dans le plan est traité comme un composite stratifié composé de plis UD, chaque pli étant tourné d’un angle donné par rapport au précédent. Le calcul analytique d’HALPIN-KARDOS a été réalisé sur un assemblage de 4 plis orientés à (0°, -45°, +45°, 90°).

On a donc un composite quasi-isotrope. Les modules de chaque pli sont estimés à partir des équations d’HALPIN-TSAI.

L : longueur des fibres, l : largeur des fibres, e : épaisseur des fibres.

ζ : facteurs de forme.

Le module G du composite est :

Conclusion : Les approches basées sur les équations d’HALPIN-TSAI sont semi-empiriques mais simples à utiliser.

Théorie simplifiée des stratifiés

Rappel : On appelle stratifié ce qui résulte de plusieurs couches (ou pli) de nappes unidirectionnelles ou de tissus avec des orientations propres à chaque pli.

Le calcul du comportement moyen d’une plaque composite stratifié va être présenté dans ce chapitre.

Comportement en membrane

Soit un stratifié à symétrie miroir (les empilements des plis de part et d’autres du plan moyen sont identiques (±θ)s).

u0, v0 : composante du déplacement dans le plan moyen, et k indice de chaque pli.

On est en hypothèse des petites déformations. On a alors une relation entre l’angle de rotation de la section et le déplacement suivant l’axe z notée w : ω = ∂ w/∂ x,

Pour un point ne se trouvant pas dans le plan moyen, on aura comme déformation :

εx = ∂ u/∂ x = ∂ /∂ x (u0 - z ∂ w/∂ x ) = ∂ u0/∂ x - z ∂ ²w/∂x²

εy = ∂ v/∂ y = ∂ /∂ y (v0 - z ∂ w/∂ x ) = ∂ v0/∂ y - z ∂ ²w/∂ x²

∂²w/∂ x² = courbure de la plaque

La déformation de cisaillement va s’écrire :

[!γxy = ∂ u/∂ y + ∂ v/∂ x = ∂ u0/∂ x + ∂ v0/∂ y - 2z ∂ ²w/∂ x∂ y !]

que l’on peut mettre sous la forme :

avec

k x = ∂ ²w/∂ x²
k y = ∂²w/∂ y²
k xy = -2 ∂ ²w/∂ x∂ y

Ce qui permet d’écrire les contraintes dans un pli du composite stratifié sous la forme :

[![σ] = [Q] k [ε0] + z [Q] k[k] !]

Hypothèse : stratifié uniquement soumis à des sollicitations dans son plan par unité de longueur : Nx , Ny , Txy = Tyx ,

Ce sont des efforts de membrane (ou éléments de réduction pour des contraintes ou encore flux d’efforts dans le stratifié). Description des efforts :

Nx : effort dans la direction x, par unité de longueur suivant la direction y :

Ny : effort résultant dans la direction y, par unité de largeur suivant la direction x :

Txy = Tyx : cisaillement de membrane par unité de largeur suivant la direction y :

Les relations précédentes peuvent se mettre sous la forme :

L’hypothèse utilisée pour intégrer sur l’épaisseur du stratifié et calculer un matériau homogène équivalent est l’homogénéité de la contrainte dans chaque pli. Ceci permet de discrétiser les intégrales et d’écrire des sommes finies, c’est-à-dire :

On introduit les relations de comportements et on obtient :

Remarque 1 : si le stratifié est équilibré (autant de plis dans une direction que dans l’autre), on a découplage entre déplacements dus à la traction et distorsion angulaire due au cisaillement, c’est à dire :

Remarque 2 : Les Aij sont indépendants de l’ordre d’empilement des plis.

Conséquences : Détermination pratique d’un stratifié travaillant en membrane.

Données :

Nx, Ny, Txy
Postuler un ensemble de proportions de plis dans des directions déterminées (par exemple : plis identiques = même nature, même épaisseur)

Problème posé :

Déterminer les modules élastiques apparents du stratifié, les coefficients de couplage associés pour prévoir les déformations sous chargement.
Epaisseur minimum à donner au stratifié pour éviter la rupture de l’un quelconque des plis qui le constituent.

Principe de calcul :

1 - modules apparents :

On écrit la relation de comportement :

Le rapport ek/h fait disparaître les proportions des plis identiques ayant même orientation.

Si on inverse la matrice [A’ij], on obtient les modules apparents recherchés et les coefficients de couplage.

2 - épaisseur minimum

Pour cela, on détermine la non-rupture du stratifié.

Soient σl, σt, et τlt les contraintes dans les axes d’orthotropie d’un pli constituant le stratifié soumis au chargement Nx, Ny et Txy.

h : épaisseur du stratifié inconnue (pour le moment), telle que l’on se trouve à la limite de la rupture du pli considéré au sens du critère de Hill (voir les critères plus loin). Pour ce pli, on aura :

On multiplie cette expression par l’épaisseur recherchée au carré et on obtient :

(σl*h), (σt*h) et (τlt*h) obtenues en multipliant les contraintes globales (σ0x, σ0y, τ0xy) s’exerçant sur le stratifié par l’épaisseur h.

Or : σ0x = Nx, σ0y = Ny, τ0xy= Txy : flux d’efforts connus, donc pour un pli, on obtient h en fonction des efforts connus, donc chaque pli n°k conduit à un hk du stratifié.

L’épaisseur finale à retenir sera la plus grande des valeurs trouvées.

Comportement en flexion

Hypothèse sur les déplacements :

Aux sollicitations Nx, Ny, Txy s’ajoutent par unité d’envergure :

Mx : moment fléchissant d’axe y, dû aux contraintes σx par unité de largeur suivant la direction y.

My : moment fléchissant d’axe x, dû aux contraintes σy par unité de largeur suivant la direction x.

Mxy : moment de torsion d’axe x, dû aux contraintes τxy

Comme pour le comportement en membrane, on discrétise par couche et on obtient :

On introduit la relation de comportement et on obtient :

En calculant les intégrales suivant z, [M] devient :

[![M] = [B][ε0]+ [D][k] !]

L’expression générale reliant les contraintes et déformations globales qui représente l’équation fondamentale pour les stratifiés s’écrit :

Inversons cette relation :

[![ε0] = [A^-1] [N] - [A^-1] [B][k] !] [!d’où : [M] = [B] [A^-1] [N] +(- [B] [A^-1] [B][k] + [D][k] !] [!alors [k] = [D^-1*][M] - [D^-1[C [N] !] On obtient finalement : [ε0] = [B [D^-1[M] + [A - [B [D^-1 [C [N]

Ce qui permet d’obtenir une autre équation fondamentale des stratifiés et qui s’écrit :

Avec
[A’] = [A-[B[D*^-1][C]
[B’] = [B*[D*^-1]
[C’] = [D*^-1][C
[D’] = [D*^-1]
et [A = [A^-1] , [B = [A^-1][B] , [C = [B][A^-1] , [D = [D] - [B][A^-1][B]

De façon générale, un stratifié quelconque soumis à de la traction subira des déformations non seulement normales mais aussi de la flexion ! Ce qui n’était pas le cas avec des matériaux homogènes isotropes !

Remarques :

Dans le cas général, on a un couplage entre les comportements en membrane et en flexion dans un stratifié quelconque, mais la symétrie miroir implique le découplage, c’est à dire que les Bij sont nulles et les termes (hk²-hk-1²) s’annulent 2 par 2. Les termes [Q16] ^k et [Q26] ^k s’obtiennent en fonction de sinθk et sin3θk qui ne changent pas de signe pour 2 couches symétriques.
Si on évite ce couplage, le comportement en membrane est indépendant de l’ordre de la séquence d’empilement.
Pour les stratifiés équilibrés, les termes A16 et A26 sont nuls.
Pour les stratifiés symétriques et équilibrés, les Bij sont nuls.

Détermination pratique d’un stratifié travaillant à la flexion :

On suppose connus les éléments de réduction (Mx, My, Mxy) => prévision de séquences d’empilements

Principe de calcul :

Non-rupture du stratifié (id à membrane).
Déformation de flexion => utilisation indispensable d’un logiciel de calcul informatisé de type EF disposant de sa bibliothèque d’éléments de stratifiés travaillant en flexion.

Calcul sommaire à la flexion :

Possibilité pour un pré-dimensionnement d’effectuer des calculs simplifiés considérant que le moment Mx est uniquement lié à la courbure ∂²w0/∂ x² My est uniquement lié à la courbure ∂²w0/∂ y²

On peut déterminer expérimentalement :

Les contraintes apparentes par l’essai :

=> analogie avec les poutres => σ^rupt=[M^rupt*(h/2)] / (h³/12) = M^rupt*6/h²

Les modules apparents de flexion :

comparaison des relations de comportement "composites " et " homogènes "par identification avec le seul 1er terme du moment Mx

Efx. (h³/12)=C11 => Efx.= -12/ h³ C11

avec Efx. : module de flexion du stratifié " homogénéisé " suivant x.

De la même façon : -Efy. (h³/12)=C22 => Efy.= -12/ h³ C22

avec Efx. : module de flexion du stratifié " homogénéisé " suivant y.

Du stratifié, on a :

De la poutre homogène, on a :

Prise en compte des effets hygrothermiques

Dans les relations de comportements précédentes, on considère un état isotherme.

Etat isotherme <=> température des " contraintes libres ".

MAIS : Température de fabrication et d’utilisation parfois différentes de cette température de référence.

Hypothèses :

1. matériau orthotrope :
De façon proportionnelle à la variation de température :

quand T° augmente, le matériau s’allonge
quand T° diminue, le matériau se rétracte.
2. couplages négligés
Utilisation du principe de superposition.

Effets thermiques :

[!εij = αij (T-T0) !]

T0 : température de référence.

Modification des seuils limites élastique et des relations de comportement des matériaux :

Dans le domaine élastique : εij = Sijkl σkl + αij (T-T0)

Avec Sijkl= f(T°) Effets hygrométriques :

Effets (T°+hygro) => accélération des modifications des caractéristiques mécaniques des matériaux composites à matrice polymère.

[!Diffusion de l’humidité dans la matrice polymère !]

Hypothèse : matériau orthotrope => proportionnalité entre taux hygro et allongement.

βij : coefficients hygrométriques dans les directions xi.(=0 si i≠ j).

[!εij = βij (H-H0) !]

Superposition des effets thermo et hygro

On écrit alors une loi hygrothermoélastique [! εij = Sijkl σkl + αij (T-T0)+βij (H-H0) !]

Remarque : quand i≠ j , δij = 0, T et H n’affectent pas les déformations et contraintes de cisaillement.

Hypothèse : il existe un état de précontrainte σij° tel que :

[!σij= σij°+ Cijkl[εkl -αkl (T-T0)+βkl (H-H0)] !]

=> il existe un potentiel thermodynamique :W(e)=(1/2 !)*Cijkl εijεkl + σij° εij exprimé autour d’une position d’équilibre caractérisée par :

εij° = 0, σij ≠ 0 (précontrainte), T=T0, H=H0

Règles de conception d’une pièce composite

Le concepteur " crée " le matériau en fonction des besoins => choix de :

-
- le renfort
- la matrice
- e procédé de durcissement
-
- agencement des plis
- prédimensionnement + critères
- représentation sur plans

Orientations normalisées :

De préférence : stratifié avec symétrie miroir

=> symétrie des contraintes

=> évite voilement et gauchissement pendant la phase de polymérisation.

Minimums technologiques : minimums de plis de 5 à 10% suivant chaque direction à 0°, +45°, 90°, -45°.

Epaisseur minimum d’un stratifié : 1 mm

Agencement des plis : proportions et nombre de plis à placer dans chacune des directions.

Il faut prendre en compte les sollicitations mécaniques qui s’exercent sur le stratifié dans la zone considérée.

3 critères pour le concepteur :

supporter les flux d’efforts sans détérioration du stratifié.
limiter les déformations de la pièce chargée.
minimiser la masse des matériaux.

Respect de l’agencement suivant :

plis à 90° placés en surface puis plis à +45° ou -45° quand flux d’effort prépondérant parallèle à 0°.
2. pas plus de 4 plis consécutifs dans une même direction.
3. problèmes de délaminage : sur les bords des stratifiés, il existe des σ33°.

σ33°> 0, => délaminage, σ33°< 0, => non délaminant.

Or, le signe de σ33°dépend de l’ordre d’empilement. (± 45)2s est très délaminant mais il existe d’autres phénomènes de rupture (endommagement du pli apparaît en 1er).

Quelques exemples de conception :

Nadia Bahlouli, ULP - IPST - IMFS

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